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随机数生成及其在统计模拟中的应用

黄湘云

分类: 统计计算
标签: 随机数, 统计检验, 模拟
日期: 2017/05/26
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最近一次更新2019年5月15日，主要更新符号计算的内容和高清图片，最早发布在统计之都主站 https://cosx.org/2017/05/random-number-generation/

揭秘统计软件如R，Octave，Matlab等使用的随机数发生器，然后做一些统计检验，再将其应用到独立随机变量和的模拟中，最后与符号计算得到的精确结果比较。除特别说明外，文中涉及到的随机数都是指伪随机数，发生器都是指随机数发生器。

背景

随机数的产生和检验方法是蒙特卡罗方法的重要部分，另外两个是概率分布抽样方法和降低方差提高效率方法。在20世纪40年代中期，当时为了原子弹的研制，乌拉姆（S.Ulam）、冯诺依曼（J.von Neumann） 和梅特罗波利斯（N. Metropolis） 在美国核武器研究实验室创立蒙特卡罗方法。当时出于保密的需要，与随机模拟相关的技术就代号“蒙特卡罗”。早期取得的成果有产生随机数的平方取中方法，取舍算法和逆变换法等。这两个算法的内容见统计之都王夜笙的文章。

随机数生成

讲随机数发生器，不得不提及一个名为Mersenne Twister（简称MT）的发生器，它的周期长达$2^{19937}-1$， 现在是R 、Octave 和Matlab 等软件（较新版本）的默认随机数发生器1。

Matlab通过内置的rng函数指定不同的发生器，其中包括1995年Matlab采用George Marsaglia 在1991年提出的借位减（subtract with borrow，简称SWB）发生器。在Matlab中，设置如下命令可指定发生器及其状态，其中1234是随机数种子，指定发生器的状态，目的是重复实验结果，v5uniform是发生器的名字。

rng(1234, 'v5uniform')

Octave通过内置的rand函数指定发生器的不同状态，为获取相同的两组随机数，state参数得设置一样，如1234（你也可以设置为别的值）。Octave已经放弃了老版本内置的发生器，找不到命令去指定早期的发生器，这个和Matlab不一样。

rand ('state',1234)
rand(1,5)

   0.9664535   0.4407326   0.0074915   0.9109760   0.9392690

rand ('state',1234)
rand(1,5)

   0.9664535   0.4407326   0.0074915   0.9109760   0.9392690

Python的numpy模块也采用MT发生器，类似地，通过如下方式获得相同的两组随机数

import numpy as np
a = np.random.RandomState(1234)
a.rand(5)
array([ 0.19151945,  0.62210877,  0.43772774,  0.78535858,  0.77997581])

a = np.random.RandomState(1234)
a.rand(5)
array([ 0.19151945,  0.62210877,  0.43772774,  0.78535858,  0.77997581])

R的默认发生器也是MT发生器，除了设置随机数种子的seed参数，还可以通过kind参数指定其他发生器，normal.kind参数指定产生正态分布随机数的发生器，下面也使用类似的方式产生两组完全一样的随机数。

set.seed(seed, kind = NULL, normal.kind = NULL)
set.seed(1234,kind = "Mersenne-Twister", normal.kind =  "Inversion") # 默认参数设置
runif(5)
[1] 0.1137034 0.6222994 0.6092747 0.6233794 0.8609154

set.seed(1234,kind = "Mersenne-Twister", normal.kind =  "Inversion") # 默认参数设置
runif(5)
[1] 0.1137034 0.6222994 0.6092747 0.6233794 0.8609154

SWB发生器中“借位相减”步骤是指序列的第$i$个随机数$z_{i}$要依据如下递推关系产生，$$z_{i}=z_{i+20}-z_{i+5}-b$$ 下标$i,i+20,i+5$都是对32取模的结果，$z_{i+20}$与$z_{i+5}$做减法运算，$b$是借位，其取值与前一步有关，当$z_i$是正值时，下一步将$b$置为0，如果计算的$z_i$是负值，在保存$z_i$之前，将其值加1，并在下一步，将$b$的值设为$2^{-53}$。

下面关于随机数生成的效率和后面的统计检验，都以生成$2^{24}$个为基准，是1600多万个，取这么多，一方面为了比较编程语言实现的发生器产生随机数的效率，另一方面是后面的游程检验需要比较大的样本量。

Matlab内置的发生器及大部分的函数，底层实现都是C或者Fortran，MathWorks创始人Cleve B. Moler是数值分析领域著名的LINPACK和EISPACK包的作者之一，他当年做了很多优化和封装，进而推出Matlab，只要是调用内置函数，效率不会比C差，自己写的含有循环、判断等语句的代码，性能就因人而异了，对大多数人来说，性能要比C低。这里比较Matlab内置SWB发生器（就当作是C语言实现的好了）和用Matlab重写的SWB发生器的效率，代码如下：

% matlab code
tic % 大约几秒
rng(1234, 'v5uniform') % 调用SWB发生器
x = rand(1,2^24);
toc

% octave code
id = tic % 时间耗费大约一小时
randtx('state',0)
x = randtx(1,2^24);
toc (id)

randtx不是Matlab和Octave内置的函数，而是Cleve B. Moler基于Matlab实现的SWB发生器，也是100多行包含嵌套循环等语句的Matlab代码打包的函数，上面的代码运行时间差异之大也就不难理解了，为了能在Octave上跑，我做了少量修改，Octave软件版本为4.2.1，安装Octave时，Blas选择OpenBlas，为了后续检验，在获得随机数后，将其保存到磁盘文件 random_number.mat

save -mat random_number.mat x

R，Octave，Matlab和Python内置的发生器都是MT发生器，与之实现有关的数学库，也是Blas，虽然有开源和进一步优化的商业版本之分，但是矩阵乘法，向量乘法之类运算的效率也就半斤八两，Julia语言官网给出了一个标准测试2。

不同语言性能

不同语言的性能表现（C语言在算法中的表现为基准，时间记为1.0）

这里再给出用C语言实现的MT发生器，产生同样多的随机数，只需要10秒左右，其中包含编译和写随机数到文件的时间，实际产生随机数的时间应该远小于这个时间。（程序运行环境环境Dev-C++ 5.11，用64位的GCC编译）。

统计检验

随机数的检验是有一套标准的，如 George Marsaglia 开发的 DieHard 检验程序，检验的内容很丰富。这篇文章只能算初窥门径，R内产生真随机数的包是 Dirk Eddelbuettel 开发的 random包，它是连接产生真随机数网站的接口。

相关性检验

先来一个简单的，就用 R 产生的两个独立同均匀分布样本，调用 cor.test 做相关性检验，看看这两组数是不是足够独立同分布，通过眼球验证，随着样本量增大，相关性趋于0，相关性弱到可以视为独立。如下图所示

library(ggplot2)
set.seed(1234)
corr <- rep(0, 1000) 
for(i in seq(from = 1000, to = 1000000, by = 1000)) {  
	corr[i/1000] <-  cor.test(runif(i, min = 0, max = 1),                            
		runif(i, min = 0, max = 1))$estimate} 
ggplot(data.frame(x = seq(1000), y = corr), aes(x = x, y = y)) +   
	geom_hex(show.legend = FALSE) + 
	scale_fill_viridis_c(direction = -1) + 
	xlab("Sample size *10^3") + ylab("Correlation")

test-corr

分布检验

检验产生的随机数是否服从指定的分布：原假设是样本来自指定的分布，计算的P值比较大，就不能拒绝原假设。

ks.test(runif(1000), "punif") # 分布检验
##
## One-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: runif(1000)
## D = 0.022302, p-value = 0.7025
## alternative hypothesis: two-sided

检验两样本是否来自同一分布：原假设是两样本来自同一分布，计算的P值比较小，就表示两样本不是来自同一分布。

ks.test(runif(1000), runif(1000)) # 同分布检验
##
## Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: runif(1000) and runif(1000)
## D = 0.04, p-value = 0.4005
## alternative hypothesis: two-sided

从结果来看，R内置的随机数发生器通过了检验（嘿嘿，这是肯定的！！）。

游程检验

游程检验对随机数序列的随机性检验，不对序列做任何分布假设，不同于上面的相关性检验和省略没讲的特征统计量（如均值和方差）的检验。先对随机性略作解释，简单起见，我们考虑0-1序列，抛掷均匀的硬币1000次，正面向上记为1，反面向上记为0，这是一个离散的均匀分布，每一次抛掷硬币都无法准确地判断出现的是正面还是反面，若记录的序列中0和1相对集中的出现，不是随机，0和1交替出现，呈现周期性也不是随机，除了这两种情况基本就是随机了。

游程检验的原假设是序列满足随机性，序列一旦生成，就是有序的，因为游程检验需要固定位置，再数上升（下降）的游程数，当计算的P值比较大时，不能拒绝原假设，即不能否认这个序列是随机的。对上述0-1序列进行模拟，然后检验，如下所示

library(tseries)
x <- sample(c(0, 1), 1000, replace = TRUE, prob = c(1/2, 1/2))
runs.test(factor(x))
##
## Runs Test
##
## data: factor(x)
## Standard Normal = 0.45116, p-value = 0.6519
## alternative hypothesis: two.sided

现在用游程检验比较SWB发生器（Octave/Matlab版）、MT发生器（R语言版）和MT发生器（C语言版）。对于一般的实数序列，得先指定一个阈值，记为delta，然后比较序列中的值和delta的大小关系，这里类似数上升或下降的游程长度（runs length），基于这样一个事实：如果序列表现随机，则序列中两个小于delta的值，间隔越远出现的次数越少。可以这样理解，还是以上面抛硬币的例子来说，出现了很多次正面，那么下一次抛掷倾向于出现反面，这是一条人人可接受的经验。

为了把这条经验可视化出来，对序列做如下操作：先给定阈值delta为0.01（也可以取别的值），取出序列中的值小于delta的位置，位置序列前面添加0，再差分，然后每个值减1，得到新序列，新序列中的值为0，表明原序列连续两个值小于delta，新序列中的值为1，表明间隔1个数小于delta，新序列中的值为2，表明间隔2个数小于delta，依次类推…..统计所有的情况，用直方图显示，这就获得游程长度与间隔的关系图（间隔数取到100足可示意）。

library(gridExtra)
library(R.matlab)
# 游程频数直方图
run_test_fun <- function(x, string, delta) {
  n <- length(x)
  len <- diff(c(0, which(x < delta), n + 1)) - 1 
  ggplot(data.frame(x = len[len < 101]), aes(x, fill = ..count..)) + 
  	scale_fill_viridis(direction = -1) + 
  	geom_histogram(binwidth = 1, show.legend = FALSE) + 
  	xlab(string) + ylab("") 
}
set.seed(1234) # R默认采用Mersenne Twister发生器
r_data <- runif(2^24, 0, 1); # R内生成均匀分布随机数
matlabv5_data <- readMat("random_number.mat") # 读取Octave生成的均匀分布随机数
temp <- read.table(file = "random_number.txt") # 读取C语言生成的均匀分布随机数 
c_data <- c(as.matrix(t(temp)))
p1 <- run_test_fun(x = r_data, string = "R", delta = 0.01)
p2 <- run_test_fun(x = matlabv5_data$x, string = "Matlab v5", delta = 0.01)
p3 <- run_test_fun(x = c_data, string = "C", delta = 0.01)
grid.arrange(p1, p2, p3, ncol=3)

image

从图中可以看出MT发生器通过了检验，SWT发生器没有通过，在间隔数为27的位置，有一条沟，按规律游程长度不应该减少这么多，这是因为SWB发生器“借位减”步骤，取模32的运算和5一起消耗了间隔为27的数量（读者可以按借位减的递推关系思考是如何消耗的），导致不符合随机性的要求，该算法细节参见Cleve B. Moler的书《Numerical Computing with MATLAB》第9章第267页 。

应用

两个均匀分布的统计模拟

随机变量 $X_{1},X_{2}\stackrel{iid}{\sim}$某分布（比如二项分布，泊松分布，正态分布，指数分布，卡方分布，伽马分布），则$X_{1}+X_{2}$也服从该分布。常见的均匀分布是否具有这样的可加性？具体地说，就是$X_{1},X_{2}\stackrel{iid}{\sim}U(0,1)$ ，$X_{1}+X_{2}$ 是否服从$U(0,2)$ ？ 如果有一台电脑在旁边，我首先想到的就是敲三五行代码，画个散点图、直方图，看图说话。

set.seed(1234) 
x <- runif(10000, min = 0, max = 1) 
y <- runif(10000, min = 0, max = 1) 
z <- x + y
plot(z) # 散点图
hist(z) # 直方图

为美观起见，从viridis包调用viridis调色板，颜色越深的地方，相应的数值越大，不管是此处 geom_hex 绘制的六角形热图，还是 geom_histogram 绘制的直方图，都遵循这个规律。

ggplot(data.frame(x = seq(10000), y = z), aes(x = x, y = y)) +   
	geom_hex(show.legend = FALSE) + 
	scale_fill_viridis_c(direction = -1) + xlab("") + ylab("")

image

显然这不是均匀分布，在 $z=1$ 处，散点比较集中，看起来有点像正态分布。如果往中心极限定理上靠，将作如下标准化$$Y_{2}^{\star}=\frac{X_1 + X_2 - 2*\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{12}}*\sqrt{2}}=\sqrt{6}(X_1 + X_2 -1)$$ 则$Y_{2}^{\star}$的期望为0，方差为1。

p4 <- ggplot(data.frame(x = z), aes(x, fill = ..count..)) +     
	scale_fill_viridis_c(direction = -1) +     
	geom_histogram(bins=20, show.legend = FALSE) + xlab("") + ylab("")  
p5 <- ggplot(data.frame(x = sqrt(6)*(z-1)), aes(x, fill = ..count..)) +     
	scale_fill_viridis_c(direction = -1) +     
	geom_histogram(bins = 20, show.legend = FALSE) + xlab("") + ylab("")  
grid.arrange(p4, p5, ncol=2)

image

只是变换后的图像和之前基本一致，那么现在看来眼球检验不好使了，那就上$P$值呗！

ks.test(sqrt(6)*(z-1), "pnorm") # 分布检验
##
## One-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: sqrt(6) * (z - 1)
## D = 0.025778, p-value = 3.381e-06
## alternative hypothesis: two-sided

也不是正态分布，既然如此，那就在两个随机变量的情况下，把精确分布推导出来。

精确分布的推导及计算

课本如《概率论与数理统计教程》 采用卷积的方法求分布函数，这种方法实行起来比较繁琐，也不利于后续编程，下面考虑用特征函数的方法求。我们知道标准均匀分布的特征函数$$\varphi(t)=\frac{e^{it}-1}{it}$$考虑$X_1$和$X_2$相互独立，它们的和用$S_2$表示，则随机变量$S_2$的特征函数为 $$\varphi_2(t)=\varphi(t)*\varphi(t)=(\frac{e^{it}-1}{it})^2=\frac{2(1-\cos(t))e^{it}}{t^2}$$

只要满足条件

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\vert \varphi_2(t) \vert \mathrm{d} t < \infty$$

$S_2$的密度函数就可以表示为

$$p_2(x)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-itx}\varphi_2(t)\mathrm{d}t$$

经计算 $$\int_{-\infty}^{+\infty}\vert \varphi_2(t) \vert \mathrm{d} t=4\int_{0}^{+\infty}\frac{1-\cos(t)}{t^2}\mathrm{d}t=4\int_{0}^{+\infty}\big(\frac{\sin(x)}{x}\big)^2\mathrm{d}x=2\pi$$

那么 $$p_2(x)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-itx}\varphi_2(t)\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{(1-\cos(t))\cos(t(1-x))}{t^2}\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\cos\big(2(1-x)t\big)\big(\frac{\sin(t)}{t}\big)^2\mathrm{d}t$$

一般地，$n$个独立随机变量的和

$$\varphi_n(t)=\big(\frac{e^{it}-1}{it}\big)^n=\big(\frac{\sin(t/2)\mathrm{e}^{\frac{it}{2}}}{t/2}\big)^n$$ 那么，同理 $$p_n(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\cos\big(2(n/2-x)t\big)(\frac{\sin(t)}{t})^n\mathrm{d}t$$

要说数值计算一个$p(x)$近似值，是一点问题没有！且看

integrate(function(t,x,n) 2/pi*cos((n-2*x)*t)*(sin(t)/t)^n ,x = 1,n = 2,
			lower = 0,upper = Inf,subdivisions = 1000) 
## 0.9999846 with absolute error < 6.6e-05

那如果要把上面的积分积出来，获得一个精确的表达式，在$n=2$的时候还可以手动计算，主要使用分部积分，余弦积化和差公式和一个狄利克雷积分公式$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(ax)}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\mathrm{sgn}(a)$，过程略，最后算得

$$p_2(x)=\frac{1}{2}\big((2-x)\mathrm{sgn}(2-x)-x\mathrm{sgn}(-x)\big)-(1-x)\mathrm{sgn}(1-x)=\frac{1}{2}(\left | x \right |+\left | x-2 \right |)-\left | x-1 \right |,0<x<2$$

$p_2(x)$的密度函数图象如下：

fun_p2_1 <- function(x) { 1 / 2 * (abs(x - 2) - 2 * abs(x - 1) + abs(x)) }
fun_p2_2 <- function(x) { 
    x <- as.matrix(x)
    tempfun <- function(x) {
        integrate(function(t, x, n) 2 / pi * cos((n - 2 * x) * t) * (sin(t) / t) ^ n,
            x = x, n = 2,lower = 0, upper = Inf, subdivisions = 1000)$value
    }
   return( sapply(x,tempfun) )
}
ggplot(data.frame(x = c(0, 2)), aes(x = x)) +
    stat_function(fun = fun_p2_2, geom = "point", colour = "#2A768EFF") +
    stat_function(fun = fun_p2_1, geom = "line", colour = "#78D152FF")

image

从图中可以看出，两种形式的密度函数在数值计算的结果上很一致，当$n=100,1000$时，含参量积分的表示形式就很方便啦！任意给定一个$n$，符号计算上面的含参量积分，这个时候还是用软件计算比较合适，R的符号计算仅限于求导，积分运算需要借助Ryacas，rSymPy，可惜的是，这些包更新缓慢，即使 $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(at)}{t}\mathrm{d}t$也算不出来，果断直接使用Python的sympy模块

from sympy import * 
a=symbols('a', real = True)
t=symbols('t', real = True, positive = True)
print(integrate(sin(a*t)/t, (t, 0, oo)))

## Piecewise((pi/2, Eq(Abs(periodic_argument(polar_lift(a)**2, oo)), 0)), (Integral(sin(a*t)/t, (t, 0, oo)), True))

。。。初次见到这样的结果，是不是一脸mb，翻译一下，就是

$$ \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\pi}{2} & \text{for}\: \left|{\operatorname{periodic_{argument}}{\left (\operatorname{polar\_lift}^{2}{\left (a \right )},\infty \right )}}\right| = 0 \\ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{t} \sin{\left (a t \right )}\, dt & \text{otherwise} \end{cases} \end{equation*} $$

稍为好点，但是还是有一大块看不懂，那个绝对值里是什么？3还是不要纠结了，路远坑多，慢走不送啊！话说要是计算$p_2(x)$密度函数里的积分，

from sympy import * 
x=symbols('x', real=True)
t=symbols('t', real=True,positive=True)
print(integrate(2/pi*cos(2*t*(1-x))*(sin(t)/t)**2,(t,0,oo)))

## Piecewise((Piecewise((2*x, (2*x - 2)**2/4 < 1), (0, 4/(2*x - 2)**2 < 1), (meijerg(((1/2,), (1, 1, 3/2)), ((1/2, 1, 0), (1/2,)), polar_lift(-2*x + 2)**2/4), True))/2, Eq(Abs(periodic_argument(polar_lift(-2*x + 2)**2, oo)), 0)), (Integral(2*sin(t)**2*cos(2*t*(-x + 1))/(pi*t**2), (t, 0, oo)), True))

那就更长了。。。

$$ \begin{equation*} \begin{cases} \frac{1}{2} \begin{cases} 2 x & \text{for}\: \frac{1}{4} \left(2 x - 2\right)^{2} < 1 \\ 0 & \text{for}\: \frac{4}{\left(2 x - 2\right)^{2}} < 1 \\ {G_{4, 4}^{3, 1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2} & 1, 1, \frac{3}{2} \\\frac{1}{2}, 1, 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \middle| {\frac{1}{4} \operatorname{polar\_lift}^{2}{\left (- 2 x + 2 \right )}} \right)} & \text{otherwise} \end{cases} & \text{for}\: \left|{\operatorname{periodic_{argument}}{\left (\operatorname{polar\_lift}^{2}{\left (- 2 x + 2 \right )},\infty \right )}}\right| = 0 \\ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{2}{\pi t^{2}} \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (2 t \left(- x + 1\right) \right )}\, dt & \text{otherwise} \end{cases} \end{equation*} $$

sympy模块还是比较强的，化简可能比较弱，感觉是我的条件声明没有充分利用，要看懂，得知道一些复变函数的知识，这个时候，可以试试Maple或者Mathematica，面对高昂的费用，我们可以使用在线的免费计算WolframAlpha（http://www.wolframalpha.com/），输入

integrate 2/pi*cos(2*t*(1-x))*(sin(t)/t)^2 ,t ,0,oo

即可得$p_2(x)=\frac{1}{2}(\left | x-2 \right |-2\left | x-1 \right |+\left | x \right |)$，$n$ 取任意值都是可以算的，由于式子比较复杂，就不展示了。

小结

作者的一些经验感悟:

因为看论文的原因（感觉MCMC好像哪都有），接着从随机数生成开始自学MCMC，一次偶然的机会，去年在北京计算科学研究中心听清华喻文健教授的报告，提到均匀分布的随机数检验，中间也出现了这个图，现在已经记不得是喻教授因为时间原因，没细讲背后的原因，还是自己没听懂，总之只觉得挺有意思的（涉及统计中的游程检验，周围基本都是工科学生，我想我听的更明白些），就记下来，在听报告之前，囫囵地看了康崇禄写的《蒙特卡罗方法理论和应用》的前两章（前两章故事比较多因此看完了），这本书没讲那个例子，却把背后的原因讲明白了（后来细看才知道的）。错位相减算法曾出现在Matlab，自然就去读Cleve B. Moler写的《Numerical Computing with MATLAB》(Revised in 2013)，这本书在文中有出现，也介绍了Matlab这么多年内置的随机数发生器的变化史。其实还是推荐看康崇禄那本，不仅因为故事多，而且内容全面和透彻，可以挑自己需要和感兴趣的部分读，也不拘泥于Matlab。

关于应用部分的举例，源于面试，陷于教材，钟于符号计算。这部分涉及一本广为人知的教材《概率论与数理统计教程》（第二版）茆诗松、程依明和濮晓龙著，这本书给了用卷积求独立随机变量和的例子，后面讲特征函数，说它在求独立随机变量和有优势，但是没有举例，所以正好是补充，而且意外地简洁和统一。符号计算获得精确结果是为了和数值计算的结果比较，之前在统计之都的投名状就是符号计算与R语言，但是没有提及python的sympy，这下也正好合体了。

媒体转载

  1. 舍得街 http://www.shedejie.com/mobile/149-0-20931-1.html
  2. 传送门 https://chuansongme.com/n/1971939644116

  1. 现在，R、Octave和Matlab这些软件没有单纯用借位相减算法来产生随机数，1995年后，Matlab使用延迟斐波那契和移位寄存器的组合发生器，直到2007年，Matlab推出7.4版本的时候才采用MT发生器。 ↩︎

  2. 在官网的High-Performance JIT Compiler部分 ↩︎

  3. Python的符号计算模块sympy功能比较全，但是化简比较弱，导致结果理解起来不是很方便，比如式子的第一行，看似当$0<x<2$时，$p_{2}(x)=x$是错的，正确的范围应该是$0<x<1$，其实for后面的函数 $polar\_lift()$要求参数大于$0$，这样就没问题了，建议多撸一撸sympy官方文档。 ↩︎